Non-Euclidean
geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar berbicara,
diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan
geometri eliptik . Ini adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah, memiliki
arti dalam matematika yang jauh lebih sempit dari yang terlihat untuk memiliki
dalam bahasa Inggris umum. Ada banyak sekali geometri yang tidak geometri
Euclidean , tetapi hanya dua yang disebut sebagai non-Euclidean geometri.
Perbedaan penting
antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel baris. Euclid
‘s kelima mendalilkan, yang paralel mendalilkan , setara dengan yang Playfair
postulat yang menyatakan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis
yang diketahui ℓ dan A titik, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A
yang tidak berpotongan ℓ. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada tak
terhingga banyak baris melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri
eliptik, setiap baris melalui A memotong ℓ (lihat entri pada geometri
hiperbolik , geometri berbentuk bulat panjang , dan geometri mutlak untuk
informasi lebih lanjut).
Cara lain untuk
menggambarkan perbedaan antara geometri adalah mempertimbangkan dua garis lurus
tanpa batas waktu diperpanjang dalam bidang dua dimensi yang baik tegak lurus
ke saluran ketiga:
ü Dalam
geometri Euclidean garis tetap konstan jarak dari satu sama lain bahkan jika
diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel.
ü Dalam
geometri hiperbolik mereka “kurva pergi” satu sama lain, peningkatan jarak
sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik persimpangan dengan tegak
lurus umum, garis-garis ini sering disebut ultraparallels.
ü Dalam
geometri berbentuk bulat panjang garis “kurva ke arah” satu sama lain dan akhirnya
berpotongan.
Sejarah
Sejarah awal
Sementara geometri
Euclidean , dinamai matematikawan Yunani Euclid , termasuk beberapa dari
matematika tertua, non-Euclidean geometri tidak secara luas diterima sebagai
sah sampai abad ke-19.Perdebatan yang akhirnya menyebabkan penemuan
non-Euclidean geometri mulai segera setelah karya Euclid ‘s Elemen ditulis.
Dalam Elemen, Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi (23 definisi, lima
pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil
lain ( proposisi ) dalam pekerjaan. Yang paling terkenal dari postulat sering
disebut sebagai “Kelima Postulat Euclid,” atau cukup dengan ” paralel
mendalilkan “, yang dalam formulasi asli Euclid adalah :Jika garis lurus jatuh
pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior pada sisi yang
sama bersama-sama kurang dari dua sudut yang tepat, maka garis-garis lurus,
jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi itu yang adalah sudut kurang
dari dua kanan sudut.Lain yang hebat matematika telah menemukan bentuk-bentuk
sederhana dari properti ini (lihat postulat paralel untuk laporan
setara).Terlepas dari bentuk dalil, bagaimanapun, secara konsisten tampaknya
lebih rumit dari yang lain Euclid postulat (termasuk, misalnya, “Antara dua
titik garis lurus bisa diambil”).
Setidaknya seribu
tahun, geometers merasa kesulitan akibat kompleksitas yang berbeda dari kelima
postulat, dan percaya itu bisa dibuktikan sebagai teorema dari keempat lainnya.
Banyak berusaha untuk menemukan bukti oleh kontradiksi , termasuk matematikawan
Arab Ibn al-Haytham (Alhazen, abad ke-11), dengan Persia matematikawan Umar
Khayyām (abad 12) dan Nasir al-Din al-Tusi (abad ke-13), dan dengan Italia
matematika Giovanni Girolamo Saccheri (abad 18).
Teorema Ibn al-Haytham, Khayyam dan al-Tusi pada segiempat , termasuk segiempat Lambert dan Saccheri segiempat , adalah “teorema pertama dari hiperbolik dan geometri berbentuk bulat panjang . ” Teorema-teorema bersama dengan alternatif mereka mendalilkan, seperti aksioma Playfair ‘s , memainkan peran penting dalam perkembangan selanjutnya dari non-Euclidean geometri. Upaya-upaya awal pada menantang kelima postulat memiliki pengaruh yang besar terhadap pembangunan di antara geometers kemudian Eropa, termasuk Witelo , Levi ben Gerson , Alfonso , John Wallis dan Saccheri. Semua upaya awal dibuat di mencoba untuk merumuskan non-Euclidean Namun geometri diberikan bukti cacat dari paralel mendalilkan, mengandung asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel.Upaya-upaya awal itu, bagaimanapun, memberikan beberapa sifat awal dari geometri hiperbolik dan eliptik.
Teorema Ibn al-Haytham, Khayyam dan al-Tusi pada segiempat , termasuk segiempat Lambert dan Saccheri segiempat , adalah “teorema pertama dari hiperbolik dan geometri berbentuk bulat panjang . ” Teorema-teorema bersama dengan alternatif mereka mendalilkan, seperti aksioma Playfair ‘s , memainkan peran penting dalam perkembangan selanjutnya dari non-Euclidean geometri. Upaya-upaya awal pada menantang kelima postulat memiliki pengaruh yang besar terhadap pembangunan di antara geometers kemudian Eropa, termasuk Witelo , Levi ben Gerson , Alfonso , John Wallis dan Saccheri. Semua upaya awal dibuat di mencoba untuk merumuskan non-Euclidean Namun geometri diberikan bukti cacat dari paralel mendalilkan, mengandung asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel.Upaya-upaya awal itu, bagaimanapun, memberikan beberapa sifat awal dari geometri hiperbolik dan eliptik.
Khayyam, misalnya,
mencoba untuk mendapatkan dari setara mendalilkan ia merumuskan dari
“prinsip-prinsip Bertuah” ( Aristoteles ): “Dua garis lurus berpotongan konvergen
dan tidak mungkin untuk dua garis lurus konvergen menyimpang ke arah di mana
mereka bertemu. ” Khayyam kemudian dianggap sebagai tiga kasus yang tepat,
tumpul, dan akut yang sudut puncak dari sebuah segiempat Saccheri dapat
mengambil dan setelah membuktikan sejumlah teorema tentang mereka, ia benar
membantah kasus tumpul dan akut berdasarkan dalil nya dan karena berasal klasik
postulat Euclid yang tidak disadarinya adalah setara dengan postulat sendiri.
Contoh lain adalah anak al-Tusi, Sadr al-Din (kadang-kadang dikenal sebagai
“Pseudo-Tusi”), yang menulis sebuah buku tentang subjek di 1298, berdasarkan
pengalaman kemudian al-Tusi, yang disajikan lain setara hipotesis untuk paralel
dalil .“Dia pada dasarnya revisi kedua sistem Euclidean aksioma dan dalil-dalil
dan bukti-bukti proposisi banyak dari Elemen.”Karyanya diterbitkan di Roma
tahun 1594 dan dipelajari oleh geometers Eropa, termasuk Saccheri yang
mengkritik pekerjaan ini serta yang dari Wallis.
Giordano Vitale , dalam bukunya Euclide restituo (1680, 1686), menggunakan Saccheri segiempat untuk membuktikan bahwa jika tiga poin adalah jarak yang sama di pangkalan AB dan CD KTT, maka AB dan CD di mana-mana berjarak sama.
Giordano Vitale , dalam bukunya Euclide restituo (1680, 1686), menggunakan Saccheri segiempat untuk membuktikan bahwa jika tiga poin adalah jarak yang sama di pangkalan AB dan CD KTT, maka AB dan CD di mana-mana berjarak sama.
Dalam sebuah karya
berjudul Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Dibebaskan dari Semua
Cacat), yang diterbitkan tahun 1733, Saccheri geometri eliptik cepat dibuang
sebagai kemungkinan (beberapa orang lain dari aksioma Euclid harus dimodifikasi
untuk geometri berbentuk bulat panjang untuk bekerja) dan mulai bekerja
membuktikan besar jumlah hasil dalam geometri hiperbolik. Dia akhirnya mencapai
titik di mana ia percaya bahwa hasil menunjukkan ketidakmungkinan geometri
hiperbolik. Klaimnya tampaknya telah didasarkan pada pengandaian Euclidean,
karena tidak ada kontradiksi logis hadir. Dalam upaya untuk membuktikan
geometri Euclidean ia malah tidak sengaja menemukan sebuah geometri baru yang
layak, tapi tidak menyadarinya.
Pada 1766 Johann
Lambert menulis, tetapi tidak mempublikasikan, Theorie der Parallellinien di
mana ia mencoba, sebagai Saccheri lakukan, untuk membuktikan postulat kelima.
Dia bekerja dengan angka yang hari ini kita sebut segiempat Lambert, suatu
segiempat dengan tiga sudut kanan (dapat dianggap setengah dari segiempat
Saccheri).Dia segera menghilangkan kemungkinan bahwa sudut keempat adalah
tumpul, karena memiliki Saccheri dan Khayyam, dan kemudian melanjutkan untuk
membuktikan teorema banyak berdasarkan asumsi sudut akut. Tidak seperti
Saccheri, ia tidak pernah merasa bahwa ia telah mencapai kontradiksi dengan
asumsi ini. Dia telah membuktikan hasil non-Euclidean bahwa jumlah sudut dalam
segitiga meningkat sebagai luas segitiga berkurang, dan ini menyebabkan dia
untuk berspekulasi mengenai kemungkinan model kasus akut pada bola berjari-jari
imajiner.Dia tidak membawa ide ini lebih jauh.
Pada saat ini itu sangat percaya bahwa alam
semesta bekerja menurut prinsip-prinsip geometri Euclidean.
Penciptaan non-Euclidean geometri
Penciptaan non-Euclidean geometri
Awal abad ke-19
akhirnya akan menyaksikan langkah-langkah yang menentukan dalam penciptaan
non-Euclidean geometri. Sekitar 1830, Hungaria matematika János Bolyai dan
Rusia matematika Nikolai Lobachevsky secara terpisah diterbitkan risalah pada
geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut
Bolyai-Lobachevskian geometri, baik sebagai matematikawan, independen satu sama
lain, adalah penulis dasar non-Euclidean geometri. Gauss disebutkan kepada ayah
Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah dikembangkan
seperti geometri sekitar 20 tahun sebelumnya, meskipun ia tidak mempublikasikan.
Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan meniadakan
paralel mendalilkan, Bolyai bekerja di luar geometri di mana kedua Euclidean
dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada k parameter.Bolyai
berakhir karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan
melalui penalaran matematis saja jika geometri alam semesta fisik Euclid atau
non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik.
Bernhard Riemann ,
dalam sebuah kuliah yang terkenal pada 1854, mendirikan bidang geometri Riemann
, membahas khususnya ide-ide sekarang disebut manifold , Riemannian metrik ,
dan kelengkungan . Ia dibangun sebuah keluarga tak terbatas geometri yang tidak
Euclidean dengan memberikan rumus untuk keluarga metrik Riemann pada bola unit
dalam ruang Euclidean .Yang paling sederhana ini disebut geometri berbentuk
bulat panjang dan dianggap menjadi geometri non-Euclidean karena kurangnya
garis paralel.
Terminologi
Gauss yang
menciptakan istilah “non-euclidean geometri”.Dia merujuk pada karyanya sendiri
yang hari ini kita sebut geometri hiperbolik.Beberapa penulis modern yang masih
menganggap “non-euclidean geometri” dan “geometri hiperbolik” menjadi sinonim.
Pada tahun 1871, Felix Klein , dengan mengadaptasi metrik dibahas oleh Arthur Cayley
pada tahun 1852, mampu membawa sifat metrik menjadi sebuah lokasi yang
proyektif dan karena itu mampu menyatukan perawatan geometri hiperbolik,
euclidean dan berbentuk bulat panjang di bawah payung projective geometri .
Klein bertanggung jawab untuk istilah “hiperbolik” dan “eliptik” (dalam sistem,
ia disebut geometri Euclidean “parabola”, sebuah istilah yang belum selamat
dari ujian waktu). Pengaruhnya telah menyebabkan penggunaan saat ini dari
“geometri non-euclidean” untuk berarti baik geometri “hiperbolik” atau
“berbentuk bulat panjang”.
Ada beberapa hebat
matematika yang akan memperpanjang daftar geometri yang harus disebut
“non-euclidean” dengan berbagai cara. Dalam disiplin ilmu lainnya, terutama
yang paling matematika fisika , istilah “non-euclidean” sering diartikan tidak
Euclidean .
Geometri Euclidean
aksiomatik dapat dijelaskan dalam beberapa cara. Sayangnya, sistem yang asli
Euclid lima postulat (aksioma) bukan salah satu dari ini sebagai bukti nya
mengandalkan asumsi tak tertulis beberapa yang juga seharusnya diambil sebagai
aksioma. sistem Hilbert yang terdiri dari 20 aksioma paling dekat mengikuti
pendekatan Euclid dan memberikan pembenaran untuk semua bukti Euclid. Sistem
lain, menggunakan set yang berbeda dari istilah terdefinisi mendapatkan
geometri yang sama dengan jalan yang berbeda. Dalam semua pendekatan,
bagaimanapun, ada aksioma yang secara logis setara dengan kelima Euclid postulat,
paralel dalil. Hilbert menggunakan bentuk aksioma Playfair, sementara Birkhoff
, misalnya, menggunakan aksioma yang mengatakan bahwa “tidak ada sepasang yang
sama tetapi tidak kongruen segitiga. ” Dalam salah satu sistem, penghapusan
satu aksioma yang setara dengan postulat sejajar, dalam bentuk apapun yang
diperlukan, dan meninggalkan semua aksioma lainnya utuh, menghasilkan geometri
absolut . Sebagai pertama 28 proposisi Euclid (dalam The Elements) tidak
memerlukan penggunaan postulat paralel atau apa setara dengan itu, mereka semua
pernyataan benar dalam geometri mutlak.
Untuk mendapatkan
geometri non-Euclidean, paralel dalil (atau ekuivalen) harus diganti oleh yang
negasi . Meniadakan aksioma Playfair ‘s bentuk, karena itu adalah pernyataan
majemuk (… terdapat satu dan hanya satu …), bisa dilakukan dengan dua cara.
Entah ada akan ada lebih dari satu baris melalui paralel titik ke garis
diberikan atau akan ada tidak ada garis melalui titik paralel ke garis yang
diberikan. Dalam kasus pertama, menggantikan paralel dalil (atau ekuivalen)
dengan pernyataan “Di pesawat, diberi titik P dan garis l tidak melewati P,
terdapat dua garis melalui P yang tidak memenuhi l” dan menjaga semua aksioma
lainnya, hasil geometri hiperbolik .Kasus kedua tidak ditangani dengan mudah.
Cukup mengganti paralel mendalilkan dengan pernyataan, “Dalam pesawat, diberi
titik P dan garis l tidak melewati P, semua garis melalui P memenuhi l”, tidak
memberikan satu set konsisten aksioma. Ini mengikuti sejak garis paralel ada di
geometri mutlak , tetapi pernyataan ini mengatakan bahwa tidak ada garis
paralel. Masalah ini dikenal (dalam kedok yang berbeda) untuk Khayyam, Saccheri
dan Lambert dan merupakan dasar untuk menolak mereka apa yang dikenal sebagai
“kasus sudut tumpul”. Untuk mendapatkan satu set konsisten aksioma yang
meliputi aksioma ini tentang tidak memiliki garis paralel, beberapa aksioma
lain harus tweak. Penyesuaian harus dibuat tergantung pada sistem aksioma yang
digunakan. Beberapa diantaranya tweak akan memiliki efek memodifikasi kedua
postulat Euclid dari pernyataan bahwa segmen garis dapat diperpanjang tanpa
batas waktu untuk pernyataan bahwa garis tak terbatas. Riemann ‘s geometri
eliptik muncul sebagai geometri paling alami memuaskan aksioma ini.
Model non-Euclidean geometri
Untuk rincian lebih
lanjut tentang topik ini, lihat Model non-Euclidean geometri .
Pada bola, jumlah sudut segitiga tidak sama dengan 180 °. Permukaan sebuah bola bukan ruang Euclidean, tetapi secara lokal hukum geometri Euclidean adalah perkiraan yang baik.Dalam sebuah segitiga kecil di muka bumi, jumlah dari sudut sangat hampir 180 °.Dua geometri Euclidean dimensi dimodelkan dengan gagasan kita tentang “datar pesawat . “
Pada bola, jumlah sudut segitiga tidak sama dengan 180 °. Permukaan sebuah bola bukan ruang Euclidean, tetapi secara lokal hukum geometri Euclidean adalah perkiraan yang baik.Dalam sebuah segitiga kecil di muka bumi, jumlah dari sudut sangat hampir 180 °.Dua geometri Euclidean dimensi dimodelkan dengan gagasan kita tentang “datar pesawat . “
Geometri Elliptic
Model sederhana untuk
geometri eliptik adalah bola, di mana garis ” lingkaran besar “(seperti ekuator
atau meridian di dunia ), dan poin yang berlawanan satu sama lain (disebut poin
antipodal ) diidentifikasi (dianggap sama). Ini juga salah satu model standar
dari pesawat proyektif nyata .Perbedaannya adalah bahwa sebagai model geometri
eliptik metrik diperkenalkan memungkinkan pengukuran panjang dan sudut,
sedangkan pada model pesawat proyektif tidak ada metrik tersebut.Dalam model
berbentuk bulat panjang, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang
tidak pada ℓ, semua baris melalui A akan berpotongan ℓ.
Geometri hiperbolik
Bahkan setelah
pekerjaan Lobachevsky, Gauss, dan Bolyai, pertanyaannya tetap: apakah model
seperti itu ada untuk geometri hiperbolik ? Model untuk geometri hiperbolik
dijawab oleh Eugenio Beltrami , pada 1868, yang pertama kali menunjukkan bahwa
permukaan yang disebut pseudosphere memiliki sesuai kelengkungan untuk model
sebagian dari ruang hiperbolik , dan dalam makalah kedua di tahun yang sama,
mendefinisikan Model Klein yang model keseluruhan dari ruang hiperbolik, dan
digunakan ini untuk menunjukkan bahwa geometri Euclidean dan geometri
hiperbolik adalah equiconsistent , sehingga geometri hiperbolik adalah logis
konsisten jika dan hanya jika geometri Euclidean adalah. (Implikasi terbalik
berikut dari horosphere model geometri Euclidean.)
Dalam model
hiperbolik, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan
Titik, yang tidak pada ℓ, ada tak terhingga banyak baris melalui A yang tidak
berpotongan ℓ.
Dalam model ini konsep-konsep non-Euclidean geometri sedang diwakili oleh objek Euclidean dalam pengaturan Euclidean.Ini memperkenalkan sebuah distorsi perseptual dimana garis-garis lurus dari geometri non-Euclidean yang diwakili oleh kurva Euclidean yang secara visual membungkuk. Ini “lentur” bukan milik non-Euclidean baris, hanya kecerdasan dari cara mereka diwakili.
Dalam model ini konsep-konsep non-Euclidean geometri sedang diwakili oleh objek Euclidean dalam pengaturan Euclidean.Ini memperkenalkan sebuah distorsi perseptual dimana garis-garis lurus dari geometri non-Euclidean yang diwakili oleh kurva Euclidean yang secara visual membungkuk. Ini “lentur” bukan milik non-Euclidean baris, hanya kecerdasan dari cara mereka diwakili.
Sifat Jarang
Euclid dan geometri
non-Euclidean secara alami memiliki sifat serupa, yaitu mereka yang tidak
tergantung pada sifat paralelisme.Kesamaan ini adalah subjek dari geometri
netral (juga disebut geometri absolut). Namun, sifat yang membedakan satu
geometri dari yang lain adalah orang-orang yang secara historis menerima
perhatian yang besar.
Selain perilaku baris
sehubungan dengan tegak lurus umum, disebutkan dalam pendahuluan, kami juga
memiliki berikut ini:
ü Sebuah
segiempat Lambert adalah segiempat yang memiliki tiga sudut kanan. Sudut
keempat dari segiempat Lambert adalah akut jika geometri hiperbolik, sebuah
sudut yang tepat jika geometri Euclidean adalah atau tumpul jika geometri
adalah berbentuk bulat panjang. Akibatnya, empat persegi panjang hanya ada
dalam geometri Euclidean.
ü Sebuah
segiempat Saccheri adalah segiempat yang memiliki dua sisi dengan panjang yang
sama, baik tegak lurus ke samping disebut basis. Dua lainnya dari sudut
segiempat Saccheri disebut sudut puncak dan mereka memiliki ukuran yang sama.
Sudut puncak dari sebuah segiempat Saccheri yang akut jika geometri hiperbolik,
sudut yang tepat jika geometri Euclidean adalah sudut tumpul dan jika geometri
adalah berbentuk bulat panjang.
ü Jumlah
dari ukuran sudut segitiga apapun adalah kurang dari 180 ° jika geometri
hiperbolik, sama dengan 180 ° jika geometri Euclidean, dan lebih besar dari 180
° jika geometri adalah berbentuk bulat panjang. Cacat segitiga adalah nilai
numerik (180 ° – jumlah dari ukuran sudut segitiga). Hasil ini juga dapat
dinyatakan sebagai: cacat segitiga dalam geometri hiperbolik adalah positif,
cacat segitiga dalam geometri Euclidean adalah nol, dan cacat segitiga dalam
geometri eliptik adalah negatif.
Pentingnya Non-Euclidean geometri adalah contoh
dari sebuah pergeseran paradigma dalam sejarah ilmu pengetahuan . Sebelum model
pesawat non-Euclidean yang disajikan oleh Beltrami, Klein, dan Poincaré,
geometri Euclidean berdiri tertandingi sebagai model matematika dari ruang
.Selain itu, karena substansi subjek dalam geometri sintetis adalah pameran
kepala rasionalitas, titik Euclidean pandang diwakili otoritas
mutlak.Non-Euclidean geometri, meskipun diasimilasi oleh peneliti dipelajari,
terus menjadi tersangka bagi mereka yang tidak memiliki paparan konsep
hiperbolis dan elips.
Penemuan
non-Euclidean geometri memiliki efek riak yang jauh melampaui batas-batas
matematika dan ilmu pengetahuan.Filsuf Immanuel Kant pengobatan itu pengetahuan
manusia memiliki peran khusus untuk geometri.Itu adalah contoh utama tentang
sintetis pengetahuan apriori, tidak berasal dari indera atau disimpulkan
melalui logika – pengetahuan kita tentang ruang merupakan kebenaran bahwa kita
dilahirkan dengan.Sayangnya bagi Kant, konsepnya ini geometri unalterably benar
adalah Euclidean.Teologi juga dipengaruhi oleh perubahan dari kebenaran absolut
untuk kebenaran relatif dalam matematika yang adalah hasil dari pergeseran
paradigma.
Keberadaan
non-Euclidean geometri berdampak pada “kehidupan intelektual” dari Inggris
Victoria dalam banyak hal dan khususnya adalah salah satu faktor yang
menyebabkan yang menyebabkan pemeriksaan ulang pengajaran geometri berdasarkan
Euclid ‘s Elemen . Masalah kurikulum yang hangat diperdebatkan pada saat itu
dan bahkan subyek dari bermain, Euclid dan Rivals modern, ditulis oleh penulis
Alice in Wonderland
Tidak ada komentar:
Posting Komentar